Дякович произхожда от семейство на бесарабски българи. Завършва класическа гимназия в Пловдив (1890). Следва право в Новорусийския университет в Одеса (1891 – 1893) и в Немския университет в Прага (1894), класическа история и археология в Сорбоната в Париж (1895 – 1898). Посещава лекции в Колеж дьо Франс и в Лувъра. Изучава антично изкуство, история и култура във Франция и Италия. В София е назначен за уредник в етнографския отдел на Народния музей (1898) и заместник-директор на Народната библиотека (1899). От 1 април 1901 до февруари 1932 година е директор на Пловдивската Народна библиотека, към която създава и Археологически музей (1910).
Основател (1923) и първи почетен член (1937) е на археологическото дружество в Пловдив, действителен член на Българския Археологически институт от основаването му (1920) до смъртта си.
В периода 1901 – 1906 г. Борис Дякович реформира дейността на Народната библиотека в Пловдив. През 1909 г. участва в подготовката на Закон за народното просвещение, автор е на раздела за културните институции. Изработва нов, модерен правилник на Народната библиотека в Пловдив (1920) и започва издаването на нейния годишник (1905). Като археолог работи в областта на тракийската и гръко-римската древност. Борис Дякович е първият дипломиран археолог и един от най-забележителните директори на пловдивската библиотека и музей. Заемал е поста от 1901 до 1932 година, а негов чест посетител бил Цар Борис Трети, който не скривал възхищението си от работата му и от начина, по който е изглеждала библиотеката.
Днес в библиотека “Борис Дякович” в РАМ се пазят над 16 000 археологически издания от страната и чужбина, за чието съхранение вече са създадени оптимални условия. В изпълнение на проекта на община Пловдив, залата се сдоби с нова климатична и вентилационна система в книгохранилището, а в две от експозиционните зали на музея (едната за временни изложби, другата с постоянна експозиция), е поставено ново художествено осветление.
Гостите разгледаха с интерес непоказвани ценни екземпляри и документи от сбирката на библиотека “Борис Дякович”. Един от най-интересните експонати е най-старото издание в нея – сборник от 1692 г. с описания и рисунки на различни артефакти, които се съхраняват в библиотека в Монако. Събирането на книгите, част от фонда на библиотеката днес, започва по инициатива на видни общественици в миналото, сред тях са личности като Йоаким Груев и Петко Каравелов. Благодарение на личните връзки на археолозите с техни колети по целия свят и обмяната на книги, библиотеката се сдобива с редица ценни издания, като тази традиция е запазена и до днес. До 2010 г. ценните книги са били съхранявани в кашони. Нещата се променят, когато в музея постъпва библиотекарят от НБ „Иван Вазов“ Петя Георгиева, която вдъхва нов живот и обновява библиотеката.